Ángulos entre rectas secantes

Recordemos que dos rectas secantes dividen al plano en cuatro ángulos.
Podemos clasificar estos cuatro ángulos de acuerdo a sus propiedades.

Ángulos Adyacentes

Dos ángulos adyacentes tienen un lado en común y los otros dos son semirrectas opuestas.

En el gráfico el ángulo alfa es adyacente a beta dado que comparte un lado la semirrecta OC y sus otros lados OA y OB son semirrectas opuestas.


En el siguiente gráfico anterior tenemos cuatro pares de ángulos adyacentes.


Teorema
Los ángulos adyacentes son suplementarios.Demostración
Por definición de ángulos adyacentes sabemos que los ángulos alfa y beta tienen un lado en común y los otros lados son semirrectas opuestas, pero esas semirrectas opuestas forman un ángulo llano, por lo tanto la amplitud de su suma debe ser 180°.

Ángulos opuestos por el vértice

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando sus lados son semirrectas opuestas.
El lado OC del ángulo alfa es opuesto al lado OD de beta, y el lado OA de alfa también es opuesto al lado OB de beta.

Teorema
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, es decir, tienen la misma amplitud.
Demostración
Consideremos el ángulo gamma adyacente a alfa y a beta.
Dado que alfa y gamma son adyacentes tenemos:

Dado que beta y gamman también son adyecentes:

Luego podemos igualar las expresiones.

Como queriamos demostrar.

Construcción de rectas perpendiculares

Con regla y compás

Supongamos que tenemos una recta r y un punto P y queremos trazar una recta perpendicular a r que pase por el punto P.

Marcamos dos puntos A y B sobre la recta r.
Luego trazamos dos arcos de circunferencias con centros en A y B y que pasen por el punto P, tratando que los arcos se intersecten también del otro lado.

Marcamos el punto de intersección Q y trazamos la recta s de tal manera que pase por los puntos P y Q.

Construcción de rectas paralelas

Con regla y escuadra.

Supongamos que queremos construir una recta paralela a la recta r que pase por el punto P.

Apoyamos uno de los catetos de una escuadra en la recta r.

Sobre el otro cateto apoyamos una regla.

Deslizamos la escuadra sobre la recta, hasta que el cateto que se encontraba sobre la recta quede sobre el punto P.

Trazamos la rectas s paralela a r.

Clasificación de Ángulos

Vamos a clasificar los ángulos realizando comparaciones de sus amplitudes.

Recordemos que ya hemos trabajado con la amplitud de un ángulo y vimos que un ángulo recto tiene 90°.

Llamaremos ángulo llano al ángulo cuya amplitud es igual a la de dos rectos.
Un ángulo llano tiene una amplitud de 180°.

Llamaremos ángulo de un giro, ál ángulo cuya amplitud se corresponde con la de dos ángulos llanos.
Un ángulo de un giro tiene una amplitud de 360°.

Llamaremos ángulo nulo, al ángulo cuyos lados son coincidentes.
Un ángulo de un nulo tiene una amplitud de 0°.

Ángulos convexos y concavos

Si comparamos la amplitud de un ángulo con la amplitud de un ángulo llano, obtenemos:

• Un ángulo es convexo, si su amplitud es menor que la de un ángulo llano.

• Un ángulo es cóncavo, si su amplitud es mayor que la de un ángulo llano.

Ángulos agudos y obtusos

Si comparamos la amplitud de un ángulo convexo con la ámplitud de un ángulo recto encontramos:

• Un ángulo es obtuso si su amplitud es mayor que un ángulo recto pero menor que la de un ángulo llano.

• Un ángulo es agudo si su amplitud es menor que un ángulo recto pero mayor que la de un ángulo nulo.

Clasificación de Rectas

Las rectas pueden tener un punto de intersección o no tener ningún punto de intersección. Si tienen más de un punto de intersección, es por que tienen infinitos puntos, en ese caso las rectas son iguales y se llaman coincidentes.

Rectas paralelas

Si dos rectas no tienen ningún punto de intersección se llaman paralelas.

Rectas secantes

Si dos rectas tienen un punto en común se llaman secantes.
Las rectas secantes se clasifican en oblicuas y perpendiculares.

Rectas oblicuas

Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman ángulos no todos iguales, las rectas se llaman oblicuas.
Los ángulos indicados con los arcos, no son iguales.

Rectas perpendiculares y ángulos rectos

Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman cuatro ángulos iguales, las rectas se llaman perpendiculares y los ángulos se llaman rectos.

Ángulos

Dos rectas que tienen un punto de intersección, dividen al plano en cuatro regiones, cada uno de ellas recibe el nombre de ángulo. El punto de intersección es el vértice del ángulo, y las semirrectas que forman los bordes de la región se llaman lados del ángulo.
En el gráfico anterior las rectas r y s tienen el punto O en común, pintamos uno de los ángulos formados y lo nombramos con una letra griega (alfa).

También podemos nombrar un ángulo a partir de tres puntos, el vértice y dos puntos pertenecientes a cada uno de los lados.
El ángulo alfa tiene vértice O y sus lados a y b pasan por los puntos A y B respectivamente, puede escribirse poniendo un símbolo parecido a un sombrero sobre el vértice e indicando los puntos por donde pasan los lados, como en la figura. Es decir, al ángulo alfa lo podemos nombrar como el ángulo AOB, sobreentendiendo que en el medio de los tres puntos se encuentra el vértice.

Congruencia de ángulos

Dos ángulos son congruentes cuando superpuestos por algún movimiento, sus vértices y lados son coincidentes.

Cuando dos ángulos son congruentes, se dice que tienen la misma amplitud o medida.

Los ángulos alfa = AOB y beta = A'O'B' de la figura son congruentes porque si superponemos la semirrecta OA con la semirrecta O'A', resulta que también las semirrectas OB y O'B' son coincidentes.

La existencia que dicha congruencia está dada por un axioma, llamado axioma de congruencia de ángulos.

La propiedad común que tienen todos los ángulos congruentes entre sí se llama amplitud.

Amplitud de un ángulo

Para poder tener una medida de la amplitud de ángulos, utilizaremos un sistema antiguo, llamado sistema sexagesimal, muy relacionado con el sistema de medición del tiempo.

Para ello, tenemos que dividir un ángulo recto en 90 partes iguales, cada una de dichas partes, o sea cada ángulo que resultó de la división se dice que tiene una amplitud de 1°.

Por lo tanto, un ángulo recto tiene una amplitud de 90°.

Semiplano

Si tenemos un plano y una recta en ese plano, la recta divide al plano en dos partes, cada una de esas partes se llama semiplano.
El plano alfa queda dividido por la recta r en dos semiplanos, el semiplano pintado contiene al punto A.
Se lo nombra como semiplano de borde r que contiene al punto A.

Segmento

Si consideramos una recta y en ella dos puntos A y B, la recta queda dividida en tres partes.

El conjunto de puntos que se encuentra entre A y B se llama segmento de extremos A y B.
Una definción rigurosa de matemática utiliza las nociones de semirrecta y de intersección.

Si tenemos dos puntos A y B en una recta, el segmento es la intersección de la semirrecta de origen A que pasa por B, con la semirrecta de origen B que pasa por A.

Semirrecta

Si consideramos un punto en una recta, el punto divide a la recta en dos partes, cada una de esas partes se llama semirrecta.

Por ejemplo, podemos considerar un punto O en una recta r. El punto O recibirá el nombre de "origen" de la semirrecta.
Y dos puntos A y B, uno en cada parte en la que quedó dividida la recta.
Podemos considerar entonces dos semirrectas con origen en O, la semirrecta de origen O que pasa por A, o la semirrecta de origen O que pasa por B.

Conceptos Básicos

Se considera a la geometría como el estudio del espacio que nos rodea. De tal manera manera consideraremos el espacio como un conjunto de puntos, los puntos formarán el resto de los objetos geométricos de los cuales estudiaremos sus propiedades y características, y las relaciones entre los distintos objetos.
Pero es necesario que comenzemos a trabajar con ciertos objetos, que no tendrán definición y algunas relaciones entre ellos que son evidentes, a dichos objetos los llamaremos "conceptos primitivos" y a las relaciones evidentes "axiomas". Ellos formarán la base de la geometría y servirán para realizar nuevas definiciones y encontrar nuevas relaciones que serán demostradas por medio de teoremas.

Conceptos Primitivos:

El espacio es considerado como un conjunto, sus elementos son puntos, los puntos se únen para formar otros objetos, entre ellos las rectas y los planos. Pero estos cuatro conceptos (espacio, punto, recta y plano) no se pueden definir, aunque todos tenenos una idea de ellos, y conocemos objetos que los pueden representar, pero sólo representar, ya que dichos objetos son ideales, es decir, que existen en la mente humana.

Los puntos son los objetos más pequeños del espacio, no tienen dimensión y se representan con letras en imprenta mayúscula. Una marca dejada con un lápiz fino es una de las mejores representaciones del mismo.
Las rectas se representan con letras en imprenta minúscula, y se corresponden con líneas que no se doblan.

Los planos se representan con letras griegas y para representarlos podemos utilizar diversas superficies planas justamente, el piso de una habitación, la superficie de una mesa, una hoja de block, etc.

Axiomas:
Un axioma es una proposición evidente en sí misma y por lo tanto, no necesita demostración.

1. El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.
2. El plano tiene infinitos puntos y rectas.
3. La recta tiene infinitos puntos.
4. Por un punto pasan infinitas rectas.
5. Por una recta pasan infinitos planos.
6. Por dos puntos pasa una única recta.
7. Por tres puntos no alineados pasa un único plano.
8. Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que pasa por esos dos puntos también se encuentra en el mismo plano.
   

Teorema:
Teorema es una proposición que para ser evidente necesita demostración

1. Por una recta y punto que no pertenece a dicha recta pasa un único plano.
2. Si dos rectas tienen un púnto de intersección, existe un único plano que pasa por dichas rectas.