Conceptos Básicos

Se considera a la geometría como el estudio del espacio que nos rodea. De tal manera manera consideraremos el espacio como un conjunto de puntos, los puntos formarán el resto de los objetos geométricos de los cuales estudiaremos sus propiedades y características, y las relaciones entre los distintos objetos.
Pero es necesario que comenzemos a trabajar con ciertos objetos, que no tendrán definición y algunas relaciones entre ellos que son evidentes, a dichos objetos los llamaremos "conceptos primitivos" y a las relaciones evidentes "axiomas". Ellos formarán la base de la geometría y servirán para realizar nuevas definiciones y encontrar nuevas relaciones que serán demostradas por medio de teoremas.

Conceptos Primitivos:

El espacio es considerado como un conjunto, sus elementos son puntos, los puntos se únen para formar otros objetos, entre ellos las rectas y los planos. Pero estos cuatro conceptos (espacio, punto, recta y plano) no se pueden definir, aunque todos tenenos una idea de ellos, y conocemos objetos que los pueden representar, pero sólo representar, ya que dichos objetos son ideales, es decir, que existen en la mente humana.

Los puntos son los objetos más pequeños del espacio, no tienen dimensión y se representan con letras en imprenta mayúscula. Una marca dejada con un lápiz fino es una de las mejores representaciones del mismo.
Las rectas se representan con letras en imprenta minúscula, y se corresponden con líneas que no se doblan.

Los planos se representan con letras griegas y para representarlos podemos utilizar diversas superficies planas justamente, el piso de una habitación, la superficie de una mesa, una hoja de block, etc.

Axiomas:
Un axioma es una proposición evidente en sí misma y por lo tanto, no necesita demostración.
  1. El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.
  2. El plano tiene infinitos puntos y rectas.
  3. La recta tiene infinitos puntos.
  4. Por un punto pasan infinitas rectas.
  5. Por una recta pasan infinitos planos.
  6. Por dos puntos pasa una única recta.
  7. Por tres puntos no alineados pasa un único plano.
  8. Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que pasa por esos dos puntos también se encuentra en el mismo plano.
Teorema:
Teorema es una proposición que para ser evidente necesita demostración
  1. Por una recta y punto que no pertenece a dicha recta pasa un único plano.
  2. Si dos rectas tienen un púnto de intersección, existe un único plano que pasa por dichas rectas.

2 comentarios:

Anónimo dijo...

Demuestro el primer teorema: Por axioma 3 la recta tiene infinitos puntos, de modo que puedo elegir dos puntos que se me canten. Por hipótesis tengo un punto que no está en la recta de donde elegí los puntos, así que los tres no están alineados, y el axioma 7 me dice que por esos tres puntos pasa un único plano, que contiene a la recta, porque por el axioma 10 los puntos elegidos determinan una única recta que pertenece al plano. Es lo que quería mostrar.
Saludos
Diego

Roberto Rodriguez - Profesor en Matemática y Cosmografía dijo...

Gracias por la demostración anterior.